分形理论在金融交易中的应用

什么是分形理论?

分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)首先提出的。1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。海岸线作为曲线,其特征是极不规则、极不光滑的,呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的,也就是局部形态和整体形态的相似。在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片,看上去会十分相似。事实上,具有自相似性的形态广泛存在于自然界中,如:连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形 (fractal)。1975年,他创立了分形几何学(fractal geometry)。在此基础上,形成了研究分形性质及其应用的科学,称为分形理论 (fractal theory)。

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分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支,又是一门新兴的横断学科。作为一种方法论和认识论,其启示是多方面的:一是分形整体与局部形态的相似,启发人们通过认识部分来认识整体,从有限中认识无限;二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序;三是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。

分形理论的原则

自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。它表征分形在通常的几何变换下具有不变性,即标度无关性。由自相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。分形形体中的自相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构,如科契(Koch)雪花曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。这种有规分形只是少数,绝大部分分形是统计意义上的无规分形。

分维,作为分形的定量表征和基本参数,是分形理论的又一重要原则。分维,又称分形维或分数维,通常用分数或带小数点的数表示。长期以来人们习惯于将点定义为零维,直线为一维,平面为二维,空间为三维,爱因斯坦在相对论中引入时间维,就形成四维时空。对某一问题给予多方面的考虑,可建立高维空间,但都是整数维。在数学上,把欧氏空间的几何对象连续地拉伸、压缩、扭曲,维数也不变,这就是拓扑维数。然而,这种传统的维数观受到了挑战。曼德布罗特曾描述过一个绳球的维数:从很远的距离观察这个绳球,可看作一点(零维);从较近的距离观察,它充满了一个球形空间(三维);再近一些,就看到了绳子(一维);再向微观深入,绳子又变成了三维的柱,三维的柱又可分解成一维的纤维。那么,介于这些观察点之间的中间状态又如何呢?

分形理论的发展

分形理论自从诞生之后就得到了迅速的发展,并在自然科学、社会科学、思维科学等各个领域都获得了广泛的应用。如今,分形和分维的概念早已从最初所指的形态上具有自相似性质的几何对象这种狭义分形,扩展到了在结构、功能、信息、时间上等具有自相似性质的广义分形。人们在自然、社会、思维等各个领域都发现了分形现象,出现了诸如分形物理学、分形生物学、分形结构地质学、分形地震学、分形经济学、分形人口学等,发现了材料学、化学、天文学中的分形及思维分形、情报分形等等。

人们现在已经认识到分形理论所揭示的自相似现象和混沌、破碎现象在客观世界中是普遍存在的。

分形的概念和思想现正在被人们抽象为一种科学方法论,这就是分形方法论。它的内容主要包括以下两点:第一,以分形客体的部分和整体之间的自相似性为锐利的武器,通过认识部分来反映和认识整体,以及通过认识整体来把握和深化对部分的认识;第二,运用分形理论的思想和方法,从无序中发现有序,揭示杂乱、破碎、混沌等极不规则的复杂现象内部所蕴涵的规律。

分形方法论从本质上看也是一种系统方法,研究分形现象需要系统的观点和方法。分形方法论的产生是属于清算还原论、倡导系统方法论这一科学发展总趋势的产物,它是复杂性研究的一个方面军,是近30多年来提出的处理复杂性的理论方案之一。分形学理论和自组织理论、混沌理论密切相关,它与混沌理论及孤子理论被人们誉为现代非线性科学的三大前沿。

分形理论及其分形方法论的提出有着极其重要的科学方法论意义。它打破了整体与部分、混乱与规则、有序与无序、简单与复杂、有限与无限、连续与间断之间的隔膜,找到了它们之间相互过渡的媒介和桥梁(即部分和整体之间的相似性),为人们从混沌与无序中认识规律和有序、从部分中认知整体和从整体中认识部分,从有限中认识无限和通过无限深化和认识有限等提供了可能和根据;它同系统论、自组织理论、混沌理论等研究复杂性的科学理论一起,共同揭示了整体与部分、混沌与规则、有序与无序、简单与复杂、有限与无限、连续与间隔之间多层面、多视角、多维度的联系方式,使人们对它们之间关系的认识的思维方式由线性阶段进展到了非线性阶段。

分形理论和分形方法论的诞生及其应用,使人们取得了用别的方法所不曾取得的许多新成果,导致了人们对自然界、社会、思维等各个领域中不可胜数的新现象、新规律的发现和破译,充分显示了它的巨大威力和十分重大的科学方法论意义。

分形市场理论(FMH)

作为现代金融理论基石的有效市场假说(EMH)越来越多地被实践证明不符合现实;而建立在非线性动力系统之上的分形市场假说,利用流动性和投资起点很好地解释了有效市场假说无法解释的各种市场现象。通过定性分析和定量分析表明,有效市场假说只是分形市场假说的一种特殊情况,有效市场只是在某个特定时段才可能出现。但由于分形市场假说在数学建模上的困难,有效市场假说仍具有现实的参考和指导意义。

埃德加·E·彼得斯(Edgar E. Peters)(1991,1994)首次提出了分形市场假说(Fractal Market Hypothesis,英文简称为FMH),从非线性的观点出发,提出了更符合实际的资本市场基本假设——分形市场假说,它强调证券市场信息接受程度和投资时间尺度对投资者行为的影响,并认C为所有稳定的市场都存在分形结构。

分形市场假说认为:资本市场是由大量的不同投资起点的投资者组成的,信息对各种不同投资者的交易时间有着不同的影响,在每日、周或月时段内的交易未必是均匀,而且投资者的理性是有限的,未必按照理性预期的方式行事。在对信息的反应上,有些人接受到信息马上就作出反应,然而大多数人会等着确认信息,并且不等到趋势已经十分明显就不作出反应。彼得斯从对资本市场的价格变化的正态性检验开始,应用R/S分析方法证实了资本市场上的资产价格或收益符合分数布朗运动或有偏的随机游动规律。并通过对资本市场时间序列的相空间重构,计算了资本市场的分形维和李雅普诺夫指数,从而完成了对资本市场的动力学分析。

(1)市场由众多的投资者组成,这些投资者处于不同的投资水平(时间尺度的差异),投资者的投资水平对其行为会产生重大的影响。可以想像,一个日交易者的投资行为会明显不同于养老基金的投资行为:前者会频繁地做出买或卖的投资决策,而后者则会在较长的时期内保持稳定。

(2)信息对处于不同投资水平上的投资者所产生的影响也不相同。日交易者的主要投资行为是频繁的交易,因此,他们会格外关注技术分析信息,基本分析信息少有价值。而市场中大多数的基本分析者处于长期投资水平上,他们通常认为市场在技术分析层面上所表现出来的趋势并不能用于长期投资决策,只有对证券进行价值评估才可获得长期真实的投资收益。在FMH的框架中,由于信息的影响在很大程度上依赖于投资者自己的投资水平,因此,技术分析和基本分析都是适用的。

(3)市场的稳定(供给和需求的平衡)在于市场流动性的保持、而只有当市场是由处于不同投资水平上的众多投资者组成时,流动性才能够得以实现。 投资水平的多样化使得投资者对信息流动有不同的评价,并且可以在某一投资水平投资者不看好市场的时候为市场提供流动性,这是保证市场稳定的关键。

(4)价格不仅反映了市场中投资者基于技术分析所做的短期交易,而且反映了基于基本分析对市场所做的长期估价;一般而言,短期的价格变化比长期交易更具易变性。市场发展的内在趋势反映了投资者期望收益的变化,并受整个经济环境的影响;而短期交易则可能是投资者从众行为的结果。因此,市场的短期趋势与经济长期发展趋势之间并无内在一致性。

(5)如果证券市场与整体经济循环无关,则市场本身并无长期趋势可言,交易、流动性和短期信息将在市场中起决定作用。如果市场与经济长期增长有关,则随着经济周期循环的确定,风险将逐步的降低、市场交易活动比经济循环具有更大的不确定性。从短期来看,资本市场存在分形统计结构,这一结构建立于长期经济循环的基础之上。同时,作为交易市场,市场流通也仅仅具有分形的统计结构。

分形市场假说弥补了有效市场假说的严重不足,特别是它重点分析了市场的流动性和投资期限对投资者行为的影响。其次,该假说对市场不作任何统计方面的假设,而是直接对投资行为和价格的变动建立模型,更主要的原因是该模型能很好地拟合我们所观察到的数据。

来源:MBA智库

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